三角函数所有的公式

三角函数公式涵盖了基本定义、恒等关系、和差公式、诱导公式及特殊恒等式等多个方面。以下是对三角函数所有公式的详细归纳：

一、基本定义与关系

1. 锐角三角函数（直角三角形中定义）

   • 正弦：sinA = 对边/斜边
   • 余弦：cosA = 邻边/斜边
   • 正切：tanA = 对边/邻边
   • 余切：cotA = 邻边/对边
   • 正割：secA = 斜边/邻边
   • 余割：cscA = 斜边/对边

2. 基本恒等式

   • 平方关系：sin²α + cos²α = 1；1 + tan²α = sec²α；1 + cot²α = csc²α
   • 倒数关系：sinα·cscα = 1；cosα·secα = 1；tanα·cotα = 1
   • 商数关系：tanα = sinα/cosα；cotα = cosα/sinα

二、和差与倍角公式

1. 两角和差公式

   • sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB
   • cos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinB
   • tan(A±B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓ tanAtanB)

2. 倍角公式

   • sin2A = 2sinAcosA
   • cos2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A
   • tan2A = 2tanA/(1 − tan²A)

三、积化和差与和差化积公式

1. 积化和差公式

   • 2sinAcosB = sin(A+B) + sin(A−B)
   • 2cosAsinB = sin(A+B) − sin(A−B)
   • 2cosAcosB = cos(A+B) + cos(A−B)
   • −2sinAsinB = cos(A+B) − cos(A−B)

2. 和差化积公式

   • sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A−B)/2]
   • sinA − sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A−B)/2]
   • cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A−B)/2]
   • cosA − cosB = −2sin[(A+B)/2]sin[(A−B)/2]

四、诱导公式与周期性质

1. 基本诱导公式

   • sin(π±α) = ∓sinα
   • cos(π±α) = −cosα
   • tan(π±α) = ±tanα

2. 互余角关系

   • sin(π/2 − α) = cosα
   • cos(π/2 − α) = sinα

五、特殊角三角函数数值与恒等式

1. 特殊角三角函数数值

   • sin30° = 1/2；sin45° = √2/2；sin60° = √3/2
   • cos30° = √3/2；cos45° = √2/2；cos60° = 1/2
   • tan30° = √3/3；tan45° = 1；tan60° = √3
   • cot30° = √3；cot45° = 1；cot60° = √3/3

2. 特殊三角形恒等式（适用于任意三角形，非直角条件下）

   • tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC
   • cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1
   • sin²A + sin²B + sin²C = 2 + 2cosAcosBcosC
   • cos²A + cos²B + cos²C = 1 − 2cosAcosBcosC

六、万能公式与半角公式

1. 万能公式

   • 设t = tan(A/2)，则：
     • sinA = 2t/(1 + t²)
     • cosA = (1 − t²)/(1 + t²)
     • tanA = 2t/(1 − t²)

2. 半角公式

   • sin(A/2) = ±√((1-cosA)/2)
   • cos(A/2) = ±√((1+cosA)/2)
   • tan(A/2) = ±√((1-cosA)/((1+cosA))

请注意，以上公式中的符号“±”或“∓”表示正负号的选择取决于角度A和B的具体值以及所在象限。在实际应用中，需要结合题目条件和几何意义灵活运用这些公式。